Цифровая обработка сигналов.  Урок 1. Разложение в ряд Фурье.

Любую периодическую функцию с периодом 2π, которая является  кусочно-монотонной на отрезке [-π, π] можно разложить в ряд Фурье, то есть, представить ее виде бесконечной суммы гармонических функций (синусоид и косинусоид). Эту сумму можно представить формулой:

где:

Теперь рассмотрим пример. Разложим в ряд Фурье функцию, заданную формулой:

И так, вычисляем a₀:

Теперь перейдем к ряду коэффициентов a. Тут мы применим интегрирование по частям, которое можно выразить формулой:

где

И так, вычисляем a_k:

Заметим, что sin(kπ)=0 при любом значении k, а cos(kπ)=1 при четном k и -1 при нечетном.  Иными словами, мы можем преобразовать эту формулу к виду:

Теперь переходим к b_k:

В результате получит вот такое разложение нашей функции в ряд Фурье:

На этом мы закончим урок, а далее (на следующих уроках) будем проверять наши вычисления, используя программу Microsoft Excel и язык программирования C#.