Матричное исчисление для чайников. Урок 1. Понятие матрицы. |
Автор megabax | |
08.03.2021 г. | |
Матричное исчисление для чайников. Урок 1. Понятие матрицы.Матричное исчисление (или матричная алгебра) - это раздел математики, который изучает матрицы. Матрицы присутствуют во многих расчетных задачах, например, решение систем линейных уравнений (когда их много), в задачах оптимизации и так далее. Поэтому очень важно знать и понимать этот раздел математики. Итак, сначала мы познакомимся с самим понятием матрицы. Матрица - это просто таблица чисел. Сама обычная таблица. У нее есть строки и столбцы. Но есть еще и научное определение матрицы, его тоже надо знать. а звучит оно вот так: "Пусть дано некоторое числовое поле K. Тогда прямоугольную таблицу чисел из поля K: будем называть матрицей". Тут использовано еще одно, может быть, незнакомое вам понятие - числовое поле. Давайте и с ним определимся. Итак, числовое поле - это любая совокупность чисел, в пределах которой выполнимы и однозначны четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля. Таким образом, к числовому полю принадлежать все нормальные числа, колесные, кстати, тоже (см. также циклы уроков Комплексные числа для чайников и Комплексные числа для чайников (платный раздел)). А вот если кто-нибудь изобретет какие-нибудь "экзотические" числа, для которых не будет хотя бы одного однозначно выполнимого из перечисленных четырех математических операций, то уже нельзя будет сказать, что эти числа принадлежат к числовому полю. Если говорить простыми словами, то матрицей считается только таблица чисел, а также любых других математических объектов, которые можно нормально складывать, вычитать, умножать и делить. А вот если в таблицу поместить нечто, что нельзя, к примеру, складывать, то это будет уже не матрица. Дело в том, что над матрицами тоже можно делать некоторые математические действия, которые сводятся к действиям над входящими в матрицу числами. А если в матрице будут не числа, а невесть что, например, строки, или какие-нибудь экзотические объекты, то над такой таблицей мы уже не сможем произвести те математические операции, которые можем делать над матрицей. Итак, давайте еще раз обсудим, что может быть внутри матрицы,
а что нет. Могут быть числа, комплексные (так как их можно складывать, вычитать
и делить). Могут быть функции и математические выражение, если результатом их
вычисления будет число (или комплексное число). Действительно, если у нас
есть некая функция
Числа n и m - это размеры матрицы, если они одинаковые, то такая матрица называется квадратной. В этом случае число n, равное m, называется порядком матрицы. В общем случае, когда m и n не равны, матрица называется прямоугольной. Числа, входящие в матрицу, называются элементами матрицы. Рассмотрим, как матрица обозначается. В самом начале урока я
показал общее обозначение матрицы. Существует еще упрощенное:
Матрицу также обозначают одной буквой, например,
A. Если A - это квадратная
матрица порядка n, то можно записать
У квадратной матрицы может быть определитель.
Определитель матрицы
Существуют также особые виды матрицы, которые могут иметь отдельные обозначает. В частности, прямоугольную матрицу вида: или, говоря иными словами, матрицу, состоящую из одного
столбца, принято обозначать вот так
Обозначается она вот так: Если все элементы квадратной матрицы, кроме главной диагонали, равны нулю: То такая матрица называется диагональной. Обозначается она вот так: Символ
Другое обозначение диагональной матрицы: Также есть обозначения для отдельных строк и столбцов
матрицы. Итак, пусть у нас есть матрица
А j-ый столбец будем обозначать как
Рассмотрим еще такое понятие, как линейное преобразование. Пусть у нас есть система линейных уравнений вида: Или, если записать его сокращенно: Преобразование всех величин x в
величины y при помощи указанных формул называются
линейным преобразованием. Коэффициенты этого линейного преобразования образуют
матрицу
|
|
Последнее обновление ( 08.03.2021 г. ) |