Программирование - это просто
Advertisement
Главная arrow Математика и информатика arrow Теория вероятностей и математическая статистика. arrow Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания
18.07.2018 г.
Главное меню
Главная
Системный подход
Интернет магазин
Биржевые роботы
Программные продукты
Математика и информатика
1С:Предприятие
C#, Delphi, VB, F#, Web и пр.
Искусственный интеллект
Услуги
Ча. Во. (FAQ)
Платный раздел
Наука для чайников
Разное
Размышления
Карта сайта
Друзья сайта
Excel-это не сложно
Все о финансах
Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания Печать E-mail
Автор megabax   
14.05.2018 г.
New Page 1

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Отдельного рассмотрения заслуживают так называемые повторные испытания. Повторные испытания - это испытания, которые проводятся в одних и тех же условиях независимо друг от друга с постоянной вероятностью успеха в каждом. Классический пример повторных испытаний - бросание игральной кости или вращение рулетки в казино. Кстати, о казино. Некоторые думают, что существует такая стратегия, которая позволяет выигрывать у казино. Так вот, изучение повторных испытаний как раз таки даст ответ на вопрос, существует ли подобная стратегия и если да, то что же это за такая стратегия. 

Если испытание имеет два независимых исхода, то его можно описать формулой Бернулли. Пусть, например, стрелок стреляет по мишени. Вероятность попадания равна p, а вероятность, что он промажет q. Естественно, p=1-q. Предположим, он стреляет по 10-ти мишеням и у него есть 10 выстрелов. Каковая вероятность того, что будет поражено ровно три мишени?

Для начала определим вероятность одной из возможных комбинаций, например, три пораженных мишени - это первые три мишени. Вероятность такого случая будет равна pppqqqqqqq=p3q7. Но у нас могут быть и такие комбинации: ppqpqqqqqq=p3q7, и такие ppqqpqqqqq=p3q7, и еще много разных сочетаний, вероятность которых будет p3q7 , так от перестановки множителей произведение не меняется.  Таким образом, для определения вероятности нам надо умножить количество сочетаний трех из семи умножить на p3q7:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Для общего случая справедлива так называемая формула Бернулли:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

(3.1)

где n -число испытаний, k - количество успешных испытаний.

Пример 1. Какова вероятность, что если бросить игральную кость 5 раз, ровно один раз выпадет число 3. Каковая вероятность, что число 3 выпадет ровно два раза.

Решение. Вероятность выпадения числа 3 равно 1/6. Используя формулу (3.1), вычисляем (размещение считается по формуле (1.4) из урока 1):

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

 

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Пример 2. Студен упорно не желает учить билеты и собирается сдать экзамен наобум. Но все таки 3 из 10 билетов он выучил. На экзамене выдается 2 билета. Экзамен считается сдан на удовлетворительную оценку, если студент правильно ответил хотя бы на один билет. Какова вероятность что студент сдаст экзамен, если дается три попытки?

Решение. Для начала нам надо вычислить вероятность, что студент сдаст экзамен с одной попытки. Так как он упорно не желает учить билеты, кроме тех трех, что уже выучил, в каждой из трех попыток у нас будет одинаковая вероятность сдать экзамен.

Итак, вероятность того, что студент вытащит первый билет, ответ на который он знает, равна 0.3. Но какова вероятность того, что если студент вытащит два билета, хотя бы один из них окажется "счастливым"? Эта вероятность равна единица минус вероятность того, что оба билета окажутся "несчастливыми". Она равна

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Значит,  вероятность сдать с первой попытки равна 0.5333. Каковая вероятность сдать экзамен, когда дано три попытки? В данном случае мы лучше посчитаем, какова вероятность провались экзамен, а вероятность сдать равна единица минус вероятность провалить. Таким образом:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Как видим, у халявщика неплохие шансы сдать экзамен. К счастью, обычно бывает больше 10 билетов, так что, вероятность случайного прохождения таких горе студентов гораздо меньше.

Пример 3. Неопытный стрелок стреляет в тире. Вероятность того, что он попадет по мишени, равна всего 5%. Но для того, чтобы получить приз, достаточно попасть по мишени хотя бы 3 раза из 20. Оценить шансы стрелка выиграть приз.

Решение. Для решение данной задачи нам удобнее всего вычислить вероятность того, что стрелок не поразит нужно количество мишеней. Этот случай наступает тогда, когда количество пораженных мишеней ровно 2, ровно 1 и ровно ни одной. Вероятность того, что стрелок не выиграет равна сумме вероятностей перечисленных количество попаданий. Для вычисления, сколько раз стрелок попадет в мишень (кроме случая "ни одного раза"), мы можем воспользоваться формулой Бернулли (3.1):

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

 

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

 

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Итак, мы вычислили вероятность того, что стрелок поразит ровно 1 и ровно 2 мишени. Осталось вычислить вероятность того, что он не поразит ни одной мишени. Она равна:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Суммируя эти вероятности, мы получим вероятность того, что стрелок поразит мишень менее трех раз:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Таким образом, вероятность того, что стрелок поразит не менее трех мишеней, равна 1-0.924=0.076 (всего 7.6%). Кому то такой результат покажется странным. Давайте проверим. Вычислим вероятность того, что стрелок поразит ровно три мишени. Результат должен быть меньше чем 7.6%.:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

 

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Пример 4. На 10000 изделий в приходиться среднем приходить 15 бракованных. Какова вероятность, что в партии из 1000 изделий ровно два окажутся бракованные?

Решение. Если мы применим формулу Бернулли (3.1) то получим очень плохо вычислимое выражение:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

В данном случае мы, конечно, можем прибегнуть к сокращению:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Но не всегда нам удастся решить выражение так относительно легко. Если нам надо будет найти вероятность того, что бракованных деталей не 2, а, допустим, 20? Тут мы уже столкнемся с большими, буквально "астрономическими" числами при вычислении факториалов. И, более того, мы не сможем вычислить их при помощи калькулятора. но существует и другая формула вычисления такой вероятности, формула Пуассона:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

(3.2)

где a=np. Для нашего случая a=1000∙15/10000=1.5. Вычисляем:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Однако, при очень больших n и вероятности успеха в отдельных испытаниях больше 0.1, формула Пуассона дает весьма неточный результат. В этом случае целесообразно использовать формулу Муавра-Лапласса:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

(3.3)

где φ(x) так называемая нормальная функция, которая вычисляется по формуле:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

(3.4)

Пример 4. Пусть в зале 150 человек. Какова вероятность, что ровно треть из них (50 человек) родилась летом, если предположить, что вероятность родиться в тот или иной сезон распределяется равномерно по году и равна 1/4 (25%).

Решение. В данном случае, определения даты рождения каждого человека можно считать испытанием. Количество испытаний - это число людей, сидящих в зале, а количество удачных испытаний - это количество случаев, когда выполниться условия: дата рождения выпадает на лето. Воспользуемся формулой Муавра-Лапалсса (3.3). Для начала вычислим x по формуле (3.4):

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Теперь вычислим φ(x):

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Теперь мы можем вычислить вероятность:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Однако, в большинстве задач требуется вычислить вероятность не для какого-то определенного количества, а для диапазона. В этом случае необходимо воспользоваться интегральной формулой Муавра-Лапласса:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

(3.5)

где x1 и x2 вычисляются по формулам:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

(3.6)

Этот интеграл относиться к разряду "не берущихся", то есть, тех, которые не имеют аналитического решения, поэтому для вычисления используют так называемую функцию Лапласса:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

(3.7)

На практике значения этой функции берут из таблицы функции Лапласса

x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x)
0,00 0,00000 0,50 0,19146 1,00 0,34134 1,50 0,43319 2,00 0,47725 3,00 0,49865
0,01 0,00399 0,51 0,19497 1,01 0,34375 1,51 0,43448 2,02 0,47831 3,05 0,49886
0,02 0,00798 0,52 0,19847 1,02 0,34614 1,52 0,43574 2,04 0,47932 3,10 0,49903
0,03 0,01197 0,53 0,20194 1,03 0,34849 1,53 0,43699 2,06 0,48030 3,15 0,49918
0,04 0,01595 0,54 0,20540 1,04 0,35083 1,54 0,43822 2,08 0,48124 3,20 0,49931
0,05 0,01994 0,55 0,20884 1,05 0,35314 1,55 0,43943 2,10 0,48214 3,25 0,49942
0,06 0,02392 0,56 0,21226 1,06 0,35543 1,56 0,44062 2,12 0,48300 3,30 0,49952
0,07 0,02790 0,57 0,21566 1,07 0,35769 1,57 0,44179 2,14 0,48382 3,35 0,49960
0,08 0,03188 0,58 0,21904 1,08 0,35993 1,58 0,44295 2,16 0,48461 3,40 0,49966
0,09 0,03586 0,59 0,22240 1,09 0,36214 1,59 0,44408 2,18 0,48537 3,45 0,49972
0,10 0,03983 0,60 0,22575 1,10 0,36433 1,60 0,44520 2,20 0,48610 3,50 0,49977
0,11 0,04380 0,61 0,22907 1,11 0,36650 1,61 0,44630 2,22 0,48679 3,55 0,49981
0,12 0,04776 0,62 0,23237 1,12 0,36864 1,62 0,44738 2,24 0,48745 3,60 0,49984
0,13 0,05172 0,63 0,23565 1,13 0,37076 1,63 0,44845 2,26 0,48809 3,65 0,49987
0,14 0,05567 0,64 0,23891 1,14 0,37286 1,64 0,44950 2,28 0,48870 3,70 0,49989
0,15 0,05962 0,65 0,24215 1,15 0,37493 1,65 0,45053 2,30 0,48928 3,75 0,49991
0,16 0,06356 0,66 0,24537 1,16 0,37698 1,66 0,45154 2,32 0,48983 3,80 0,49993
0,17 0,06749 0,67 0,24857 1,17 0,37900 1,67 0,45254 2,34 0,49036 3,85 0,49994
0,18 0,07142 0,68 0,25175 1,18 0,38100 1,68 0,45352 2,36 0,49086 3,90 0,49995
0,19 0,07535 0,69 0,25490 1,19 0,38298 1,69 0,45449 2,38 0,49134 3,95 0,49996
0,20 0,07926 0,70 0,25804 1,20 0,38493 1,70 0,45543 2,40 0,49180 4,00 0,49997
0,21 0,08317 0,71 0,26115 1,21 0,38686 1,71 0,45637 2,42 0,49224 4,05 0,49997
0,22 0,08706 0,72 0,26424 1,22 0,38877 1,72 0,45728 2,44 0,49266 4,10 0,49998
0,23 0,09095 0,73 0,26730 1,23 0,39065 1,73 0,45818 2,46 0,49305 4,15 0,49998
0,24 0,09483 0,74 0,27035 1,24 0,39251 1,74 0,45907 2,48 0,49343 4,20 0,49999
0,25 0,09871 0,75 0,27337 1,25 0,39435 1,75 0,45994 2,50 0,49379 4,25 0,49999
0,26 0,10257 0,76 0,27637 1,26 0,39617 1,76 0,46080 2,52 0,49413 4,30 0,49999
0,27 0,10642 0,77 0,27935 1,27 0,39796 1,77 0,46164 2,54 0,49446 4,35 0,49999
0,28 0,11026 0,78 0,28230 1,28 0,39973 1,78 0,46246 2,56 0,49477 4,40 0,49999
0,29 0,11409 0,79 0,28524 1,29 0,40147 1,79 0,46327 2,58 0,49506 4,45 0,50000
0,30 0,11791 0,80 0,28814 1,30 0,40320 1,80 0,46407 2,60 0,49534 4,50 0,50000
0,31 0,12172 0,81 0,29103 1,31 0,40490 1,81 0,46485 2,62 0,49560 4,55 0,50000
0,32 0,12552 0,82 0,29389 1,32 0,40658 1,82 0,46562 2,64 0,49585 4,60 0,50000
0,33 0,12930 0,83 0,29673 1,33 0,40824 1,83 0,46638 2,66 0,49609 4,65 0,50000
0,34 0,13307 0,84 0,29955 1,34 0,40988 1,84 0,46712 2,68 0,49632 4,70 0,50000
0,35 0,13683 0,85 0,30234 1,35 0,41149 1,85 0,46784 2,70 0,49653 4,75 0,50000
0,36 0,14058 0,86 0,30511 1,36 0,41309 1,86 0,46856 2,72 0,49674 4,80 0,50000
0,37 0,14431 0,87 0,30785 1,37 0,41466 1,87 0,46926 2,74 0,49693 4,85 0,50000
0,38 0,14803 0,88 0,31057 1,38 0,41621 1,88 0,46995 2,76 0,49711 4,90 0,50000
0,39 0,15173 0,89 0,31327 1,39 0,41774 1,89 0,47062 2,78 0,49728 4,95 0,50000
0,40 0,15542 0,90 0,31594 1,40 0,41924 1,90 0,47128 2,80 0,49744 5,00 0,50000
0,41 0,15910 0,91 0,31859 1,41 0,42073 1,91 0,47193 2,82 0,49760    
0,42 0,16276 0,92 0,32121 1,42 0,42220 1,92 0,47257 2,84 0,49774    
0,43 0,16640 0,93 0,32381 1,43 0,42364 1,93 0,47320 2,86 0,49788    
0,44 0,17003 0,94 0,32639 1,44 0,42507 1,94 0,47381 2,88 0,49801    
0,45 0,17364 0,95 0,32894 1,45 0,42647 1,95 0,47441 2,90 0,49813    
0,46 0,17724 0,96 0,33147 1,46 0,42785 1,96 0,47500 2,92 0,49825    
0,47 0,18082 0,97 0,33398 1,47 0,42922 1,97 0,47558 2,94 0,49836    
0,48 0,18439 0,98 0,33646 1,48 0,43056 1,98 0,47615 2,96 0,49846    
0,49 0,18793 0,99 0,33891 1,49 0,43189 1,99 0,47670 2,98 0,49856    

Вероятность попадания в диапазон будет разностью этих двух значений функции.

Пример 5. Условие такие, как и в примере 4, но надо определить, какова вероятность, что от 40 до 60 человек из сидящих в зале родились летом.

Решение. Нижнее значение диапазона - 40, верхнее - 60 (количество сидящих в зале). Вычисляем:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 3. Повторные испытания

Значения функции Лапласа для этих x 0.18082 и 0.49999 соответственно. Вычитаем из верхнего порога нижний и получаем pn(40,60)=0.49999-0.18082=0.31917≈31%

 

 

Последнее обновление ( 14.05.2018 г. )
 
Пред. »
 
© 2018 Программирование - это просто
Joomla! - свободное программное обеспечение, распространяемое по лицензии GNU/GPL.
Русская локализация © 2005-2008 Joom.Ru - Русский Дом Joomla!
Design by Mamboteam.com | Powered by Mambobanner.de
Я принимаю Яндекс.Деньги
Мы принимаем
Банковские карты
Оплатите покупку в интернет-магазине банковскими картами VISA и Mastercard любого банка.
узнать больше
Электронный кошелек
Моментальная оплата покупок с помощью вашего электронного кошелька RBK Money.
узнать больше
Банковский платеж
Оплатите покупку в любом российском банке. Срок зачисления средств на счет - 3-5 рабочих дней.
узнать больше
Денежные переводы
Оплата покупок через крупнейшие системы денежных переводов CONTACT и Unistream.
узнать больше
Почтовые переводы
Оплатите покупку в любом отделении Почты России. Срок зачисления платежа - 3-4 рабочих дня.
узнать больше
Платежные терминалы
Оплата покупок в терминалах крупнейших платежных систем в любом городе России - быстро и без комиссии.
узнать больше