Программирование - это просто
Advertisement
Главная arrow Математика и информатика arrow Теория вероятностей и математическая статистика. arrow Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы
16.08.2018 г.
Главное меню
Главная
Системный подход
Интернет магазин
Биржевые роботы
Программные продукты
Математика и информатика
1С:Предприятие
C#, Delphi, VB, F#, Web и пр.
Искусственный интеллект
Услуги
Ча. Во. (FAQ)
Платный раздел
Наука для чайников
Разное
Размышления
Карта сайта
Друзья сайта
Excel-это не сложно
Все о финансах
Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы Печать E-mail
Автор megabax   
20.09.2016 г.
New Page 1

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

Аксиома 1. Вероятность двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

(2.1)

Формула верна для любого количества событий, причем, вероятность суммы событий, составляющих полную группу событий, равна единице. В частном случае, для противоположных событий справедлива формула:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

(2.2)

Отсюда следует вероятность противоположного события:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

(2.3)

Во многих случаях удобнее обозначать вероятности противоположных событий буквами p и q, где

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

Тогда:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

(2.4)

Пример 1. Каткова вероятность, что на игральной кости выпадет более двух очков?

Решение. При бросании игральной кости возможны шесть событий от A1 до A6. Все эти события несовместны. Событию "выпадет  больше двух очков" соответствуют любое из событий  A3, A4, A5, A6. Вероятность каждого из событий 1/6, поэтому:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

Теперь разберем такое понятие, как произведение совместных событий. Под произведением событий A и B (AB) мы понимаем такую ситуацию, когда произошло событие A, а затем событие B. Вероятность произведения событий AB равна произведению вероятности события A на условную вероятность события B. Под условной вероятностью события B подразумевается вероятность наступления события B при условии, что событие A наступило.

Если наступление события A изменяет условие наступления события A, то такие события называют зависимыми. В противном случае события независимы и условная вероятность равна безусловной. Условную вероятность события B обозначают P(B|A). Тогда:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

(2.5)

При этом справедливо равенство:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

(2.6)

Для независимых событий, когда условная и безусловная вероятность равны, вероятность совместного события AB находиться по формуле:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

(2.7)

Пример 2. Из урны, в которой 10 желтых и 5 красных шаров извлекают по очереди два шара. Какова вероятность извлечь последовательно сначала красный, а потом желтый шар, если:

1) Первый извлеченный шар возвращают обратно.

2) Первый извлеченный шар обратно не возвращают.

Решение.  Событие "извлекли красный шар" обозначили A, "извлекли желтый шар" обозначим  B. В первом случае эти события независимы, так как мы шар возвращаем обратно и поэтому вероятность извлечь шар заданного цвета не меняется. Тогда:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

 

Во втором случае события будут уже зависимые, то есть, после того, как мы извлеки красный шар, вероятность извлечения желтого шара поменяется, то есть:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

Если у нас имеет место случай, когда надо вычислить вероятность двух совместных событий, то применим следующую формулу:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

(2.8)

Для понимания, что значит вероятность двух совместных событий, рассмотрим пример.

Пример 3.  Двое снайперов стреляют по мишени по одному разу. Первый из них стреляет лучше и вероятность, что он попадет в цель, равна 0.9, а второй - мазила, вероятность что он попадет в цель 0.5. Цель считается пораженной, если хот кто-нибудь из них попадет ну, или попадут оба.

Решение. По формуле 2.8 вычислим вероятность данного события:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

Эту задачу также можно решить и другим путем. Найдем вероятность того, что оба промахнуться:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

Тогда вероятность что хоть один из них не промахнется (цель будет поражена) равняется:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

Пример 4. Игральная кость бросается 4 раза. Какова вероятность, что хотя бы один раз выпадет число 3.

Решение. Вероятность того, что выпадет число 3 равна 1/6, что не выпадет 5/6. Тогда искомая вероятность:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

Теперь разберем такое понятие, как формула полной вероятности. Допустим, некоторое событие A может произойти только в результате наступления одного из случайных событий H1,H2,...,Hn, которые составляют полную группу событий.  Будем называть эти события гипотезами с известными вероятностями их осуществления P(H1),P(H2),...,P(Hn). Тогда безусловную вероятность события A можно найти по формуле полной вероятности, определяемой как сумма произведений вероятностей гипотез на условные вероятностей события A:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

(2.9)

Пример 5. В урне лежит 4 синий и 5 красных шаров. Из нее достали один шар, цвет которого неизвестен. Затем достали второй. Какова вероятность, что этот второй шар оказался синий?

Решение. Рассмотрим две гипотезы: H1 - первый шар синий, H2 - первый ша красный. Вероятности этих гипотез P(H1)=4/9, P(H2)=5/9. Условные вероятности событий: P(A|H1)=3/8, P(A|H2)=4/8. Тогда:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

Представим себе, что событие в примере 5 произошло. Требуется найти вероятность того, что реализовалась гипотеза Hi. Из равенства 2.6 выводим так называемую формулу Байеса.

Для нашего случая Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

(2.10)

Пример 6. Предположим, в предыдущем примере (5), оказалось, что второй шар синий. Найти после опытную вероятность того, что первый шар тоже был синий.

Решение. По формуле Байеса находим:

Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

Как видим, вероятность того, что это был синий шар, уменьшилась.

Последнее обновление ( 20.09.2016 г. )
 
« След.   Пред. »
 
© 2018 Программирование - это просто
Joomla! - свободное программное обеспечение, распространяемое по лицензии GNU/GPL.
Русская локализация © 2005-2008 Joom.Ru - Русский Дом Joomla!
Design by Mamboteam.com | Powered by Mambobanner.de
Я принимаю Яндекс.Деньги
Мы принимаем
Банковские карты
Оплатите покупку в интернет-магазине банковскими картами VISA и Mastercard любого банка.
узнать больше
Электронный кошелек
Моментальная оплата покупок с помощью вашего электронного кошелька RBK Money.
узнать больше
Банковский платеж
Оплатите покупку в любом российском банке. Срок зачисления средств на счет - 3-5 рабочих дней.
узнать больше
Денежные переводы
Оплата покупок через крупнейшие системы денежных переводов CONTACT и Unistream.
узнать больше
Почтовые переводы
Оплатите покупку в любом отделении Почты России. Срок зачисления платежа - 3-4 рабочих дня.
узнать больше
Платежные терминалы
Оплата покупок в терминалах крупнейших платежных систем в любом городе России - быстро и без комиссии.
узнать больше