Программирование - это просто
Advertisement
Главная arrow Математика и информатика arrow Комплексные числа для чайников. arrow Комплексные числа для чайников. Урок 2. Алгебраическая форма комплексных чисел.
12.04.2021 г.
Главное меню
Главная
Интернет магазин
Программные продукты
Биржевые роботы
Искусственный интеллект
Математика и информатика
1С:Предприятие
Уроки C#
Уроки Delphi
Уроки программирования
Web-программирование
Дизайн и графика
Компьютер для блондинок
Исходники
Статьи
Платный раздел
Рассказы про компьютеры
Хитрости и секреты
Системный подход
Размышления
Наука для чайников
Друзья сайта
Excel-это не сложно
Все о финансах
.
Комплексные числа для чайников. Урок 2. Алгебраическая форма комплексных чисел. Печать E-mail
Автор megabax   
11.03.2021 г.
New Page 1

Комплексные числа для чайников. Урок 2. Алгебраическая форма комплексных чисел.

Это последний урок из серии "Комплексные числа для чайников", публикуемый в бесплатном разделе. Начиная со следующего, публикация уроков будет продолжена в платном разделе. В бесплатном же разделе, возможно, иногда будут публиковать некоторые статьи, посвященные особенностям математики комплексных чисел .

Продолжаем знакомство с комплексными числами. На прошлом уроке мы с вами рассмотрели, что такое абстракция в математике, для чего нам нужны абстракции в повседневной жизни а так же узнали об еще одной абстракции - мнимой единице. Так же я привел вам список областей, где эти самые комплексные числа могу применятся и обещал, что со временем, читая мои уроки вы поймете тайный смысл мнимой единицы.

И так, продолжим. Алгебраическая запись комплексного числа. Она выражается вот такой формулой:

(2.1)

где a и b - некоторые числа, - мнимая единица. Разумеется, можно записать и так:

(2.2)

Но принято записывать как в формуле (2.1), обозначая мнимую единицу символом i. Что можно делать с такими числам? Во первых, их можно складывать.  Для этого достаточно сложить их коэффициенты:

(2.3)

Собственно говоря, сложение комплексный чисел - это тоже самое, что и сложение многочленов. По своей сути - комплексное число - это многочлен, состоящий из двух членов (двучлен). Если вы подзабыли алгебру, немножко напомню. Давайте представим, что мы считаем яблоки. У нас на одной полке лежит три яблока, на другой четыре. В сумме 7. Но что, если у нас на одной полке три яблока, а на другой четыре апельсина? Можем ли мы их сложить и сказать, что у нас семь яблокапельсинов? Разумеется, нет, такая операция лишена всякого смысла. Но мы можем сказать, что у нас три яблока плюс четыре апельсина. Это и есть многочлен. И, если мы одно яблоко обозначим буквой X, а другое буквой Y, то у нас получиться 3X+4Y.

Теперь заменим яблоки и апельсины коробками с конфетами. Пусть у нас имеются три больших коробки, и две маленьких. В этих коробках разное количество конфет. Поэтому мы не можем взять и сложить коробки друг с другом. Но мы можем количество конфет в большой коробке обозначить X, а в маленькой Y. Тогда общее количество конфет у нас будет 3X+2Y. Узнав, сколько конфет в каждой коробке мы можем сосчитать их по полученной формуле. А пока не знаем, у нас конфет 3X+2Y.

А теперь представим, что у нас имеется некоторое количество шоколадных конфет "россыпью" и некаторе количество мармелада в коробке. Обозначим одну коробку как i, а одну шоколадную конфету как a. Количество коробок с мармеладками обозначим b. Тогда у нас получиться a+bi. Это тоже многочлен. Если у нас есть несколько полок, где лежат и шоколадные конфеты и коробки с мармеладом, то  содержимое этих полок  мы можем складывать, как в формуле (2.3).

Еще комплексные числа можно вычитать. Это тоже самое, что и в формуле (2.3), только вместо плюса между коэффициента знак минус, думаю, понятно, почему:

(2.4)

Теперь рассмотрим пример. Сложить комплексные числа 5-2i и 7+4i. Решаем: 5-2i+7+4i=12+2i. Обратите внимание, что в первом слагаемом перед i знак минус, а прибавления числа с минусом - это вычитание. Поэтому в итоге перед i остается 2, так как 4-2=2.

Комплексные числа можно так же умножать друг на друга (формула не окончательна, ниже мы ее преобразуем):

(2.5)

Как вы поняли, перемножаются они точно так же, как и многочлены. Их произведение представляет собой произведение всех членов со всеми другими членами. Может возникнуть вопрос: а как вообще можно перемножить многочлены? Как умножить 5 апельсинов плюс 10 мандаринов на 3 шоколадки плюс 4 мармеладки? Что бы понять это, вспомним школьную арифметику. Помните как в школе вас учили складывать и умножать столбиком? Не знаю, может сейчас этому уже не учат, так как есть калькуляторы. Но во времена моего детства калькуляторы были в диковинку и мы арифметические операции производили на бумаге, тем самым пресловутым "столбиком". Если вы это не помните или не проходили, напомню:

И так, на картинке мы видим умножение 42 на 28. Как мы это делаем? В пером ряду, там где у нас 336, мы умножаем 8 на 42. Во втором, где у нас цифры "84", мы 42 умножаем на 2. Но на самом деле мы не 42 умножаем на 2, а 42 на 20, и получается у нас не 84, а 840, просто мы не пишем последний нуль. Иными словами, умножение 42 на 28 мы можем представить в таком виде: 42*28=(42*8+42*20). Если не верите, проверьте на калькуляторе :). Но это еще не все. Умножение 42*8 мы тоже можем разложить таким же макаром, как, впрочем, и 42*20. Вот что тогда у нас получается: 40*8+2*8+40*20+2*20. Но, на самом деле, 42 - это 40+2, а 28 - это 20+8. И мы можем записать (40+2)*(20+8). Если мы раскроем скобки, то получим такой же результат. Заменив цифры буквами, мы получим вот такую универсальную формулу:

(2.7)

Но откуда взялась такая формула? Что бы понять, попробуем сначала выражение c+d умножить на a. У нас получается ac+ad. Почему? Потому что мы берем c+d число раз, которое у нас обозначается буквой a. Если а=5, то мы пять раз возьмем число c+d. Так как от перестановки слагаемых сумма не меняется (это настолько очевидно, что думаю, объяснения излишни), то не важно, вместе или по отдельности мы взяли пять раз c и d. Таким образом, 5*(c+d)=5c+5d. Тоже самое справедливо, когда мы умножаем на a. Но в формуле (2.7) у мы раскрываем таким же макаром два выражения в скобках. Поэтому и получается, что каждый член многочлена умножается на каждый другой член многочлена и полученные произведения складываются.

А теперь посмотрим внимательно на формулу (2.5). Что вам сразу бросается в глаза? Правильно, i в квадрате, которое, по сути, равно -1, и два члена с i, которые можно объединить. Тогда формула приобретает такой вид:

(2.8)

В дальнейшем вы еще не раз столкнетесь с "хитрыми" свойствами комплексных чисел, вытекающих из самого понятия мнимой единицы. А сейчас изучим .... деление комплексных чисел. Взрыв мозга, не правда ли? Как можно делить друг на друга комплексные числа? Как вообще можно делить друг на друга многочлены?  А точно так же, как и умножать. Уголком! Вот, посмотрите процесс деления двух числе в десятичной системе:

Как вы уже поняли ранее, числа можно представить как многочлены. Так, 5760=5000+700+60+0=5•103+7•102+6•10+0. Да и 45 тоже можно представить как многочлен 4•10+5.  Давайте рассмотрим пример деления многочлена:

Разумеется, как числа в десятичной системе счисления, так и многочлены могут на цело не разделится. 

Комплексные числа - это, по сути, тоже многочлены, и их можно делить друг на друга. Но тут есть один нюанс. И он опять же связан с "хитрым" свойством мнимой единицы.

И так, сначала вспомним древнюю бородатую формулу, которую проходили еще в начальных классах:

(2.9)

Откуда взялась эта формула, объяснять, думаю, излишне, тут рули Капитан Очевидность. Но если вы такой дотошный, сами попробуете вывести эту формулу из формулы (2.7).

Как вы уже поняли, квадраты - лучшие друзья мнимой единицы, так как превращают ее из какой то непонятной абстракции в нормальное число, тем самым облегчая нам расчеты.  Это один из тайных смыслов мнимой единицы и сейчас вы в этом убедитесь.

И так, берем два комплексны числа и делим их. Для того, что бы их разделить, умножаем его числитель и знаменатель, который позволит нам раскрыть скобки и избавиться от дроби:

(2.10)

Как вы поняли, мы помножили на второй многочлен из формулы (2.9), что бы в знаменателе у нас получилась разность квадратов. Что это нам дает? А то, что i будет в квадрате, а это минус единица. И мы избавляемся от комплексно составляющей в знаменателе, то есть, теперь мы будем делить уже на самое обычно число:

(2.11)

Кому то эта формула покажется страшноватой, но не бойтесь, учить ее не надо. В любом случае, вы можете и без нее подобрать множитель, который превратит знаменатель в разность квадратов.

Рассмотрим пример:

 

В данном примере мы сосчитали по формуле (2.11). А сейчас посмотрите, как это можно сделать без формулы:

Кто то, возможно, спросить: а можно ли делить комплексные числа "уголком", как многочлен? Попытаться можно. Но вряд ли у вас что то получиться. Многочлен 13+i не разделиться нацело на 7-6i. Более того, вы будете долго мучиться с таким делением, но так и ничего не разделите. И, только преобразуя квадрат от i минус единицу, вы получаете "красивый" результат. Правда, кому то может быть непонятно, а в чем практической польза от таким манипуляций? Дело в том, что комплексные числа, кроме алгебраической, могут быть так же представлены в тригонометрической и даже экспоненциальной форме. Их можно преобразовывать из одной формы в другую, и такие преобразования находят применение во многих практических расчетах из разных областей науки и техники. Но об этом в будущих уроках. Оставайтесь с нами.

 

 

 
Пред. »
 
© 2021 Программирование - это просто
Joomla! - свободное программное обеспечение, распространяемое по лицензии GNU/GPL.
Русская локализация © 2005-2008 Joom.Ru - Русский Дом Joomla!
Design by Mamboteam.com | Powered by Mambobanner.de
Я принимаю Яндекс.Деньги