Комплексные числа для чайников. Урок 1. Что это такое  и с чем их "едят". Мнимая единица.

Для того, что бы понять, что такое комплексные числа, давайте вспомним про обычные числа и всесторонне их рассмотрим. И так, самое простое - это натуральные числа. Они называются натуральными, потому что через них можно что то выразить "в натуре", то есть, что то сосчитать. Вот есть два яблока. Их можно сосчитать. Имеется пять коробок конфет. Их можем можно сосчитать. Иными словами, натуральные числа - это числа, при помощи которых мы можем считать конкретные предметы. Вы прекрасно знаете, что эти числа можно складывать, вычитать, умножать и делить. Со сложением и умножением все понятно. Было два яблока, добавили три, стало пять. Взяли три коробки конфет по 10 штук в каждой, значит, всего тридцать конфет. А вот теперь перейдем к целым числам. Если натуральные числа обозначают конкретное количество предметов, то во множество целых чисел вводятся абстракции. Это нуль и отрицательные числа. почему это абстракции? Нуль - это отсутствие чего либо. Но можем ли мы потрогать, пощупать того, чего нет. Вот два яблока мы можем пощупать, вот они. Мы их можем даже съесть. А что значит нуль яблок? Мы можем потрогать, пощупать этот нуль? Нет, не можем. Значит, это абстракция. Надо же как то обозначать отсутствие чего либо. Вот и обозначили цифрой нуль. Но зачем это как то обозначать? Давайте представим, что у нас было два яблока. Мы съели два. Сколько у нас осталось? Правильно, нисколько. Эту операцию (съели два яблока) мы запишем как вычитание 2-2. И что в итоге то у нас полупилось? Как нам обозначить результат? Только введя новую абстракцию (нуль), которая обозначат, что в результате вычитания (съедения) получилось, что у нас не осталось ни одного яблока. Но мы из двух можем вычесть не 2, а 3. Казалось бы, эта операция бессмысленна. Если у нас только два яблока, как мы сможем съесть три?

Рассмотрим другой пример. Мы идем в магазин за пивом. У нас с собой 100 рублей. Пиво стоит 60 рублей за бутылку. Нам хочется купить две бутылки, но денег у нас не хватает. Нам надо 120 рублей. И тут мы встречаем своего давнего приятеля и занимаем у него двадцатку. Покупаем пиво. Вопрос. Сколько у нас осталось денег? Здравый смысл подсказывает, что нисколько. Но с точки зрения математики это будет абсурд. Почему? Потому что для того, что бы получить в результате нуль, нужно из 100 отнять 100. А мы делаем 100-120. Тут у нас должно получиться что то другое. А что у нас получилось? А то, что мы еще должны приятелю 20 рублей. В следующий раз, когда у нас будет с собой 140 рублей, мы придем в магазин за пивом, встретим приятеля, рассчитаемся с ним по долгам и сможем купить еще две бутылки пива. В итоге у нас получается 140-120-20=0. Обратите внимание на -20. Это очередная абстракция - отрицательное число.  То есть, наш долг перед приятелем - это число со знаком минус, потому, что когда мы долг отдаем, мы эту сумму вычитаем. Скажу больше, это еще большая абстракция, чем нуль. Нуль обозначат чего то, чего нет. А отрицательное число - это как бы то, что у нас будет отнято в будущем.

И так, на примере я показал, как в математике рождаются абстракции. И, что, казалось бы, при всей нелепости подобных абстракций (типа отнять больше, чем было), они находят применение в реальной жизни. В случае деления целых чисел возникает еще одна абстракция - дробные числа. На них я подробно останавливается не будут, и так понятно, что они нужны в том случае, когда у нас целы числа не делятся на цело. К примеру, у нас четыре яблока, а надо их разделить на три человека. Тут понятно, что одно оставшееся яблоко делим на три части и получаем дроби.

Теперь очень так плавненько доберемся до сами комплексных чисел. Но, сначала вспомним, что при умножении двух отрицательных числе получается положительное. Кто то спросить - а почему так? Давайте сначала разберемся с умножением отрицательного числа на положительное. Допустим, -20 умножаем на 2. То есть, нам надо сложить -20+-20. В итоге получается -40, так как прибавление отрицательного числа - это вычитание.  Почему вычитание - см. выше, отрицательное число - это долг, когда мы отнимем его у нас что то отнимается. Есть и другой житейский смысл. Что будет, если долг увеличился? Например, в том случае, когда нам дали в долг под проценты? В итоге осталось тоже число со знаком минус, то, что после минуса стало больше. А что значит умножить на отрицательное число?  Что значит 3*-2? Это значит, что число три нужно взять минус два раза. То есть, поставить минус перед результатом умножения. Кстати, это тоже самое, что -3*2, так как от перестановки множителей произведение не меняется. А теперь внимание. Умножаем -3 на -2. Мы число -3 берем минус два раза. Если мы возьмем число -3 два раза, то в итоге будет -6, это вы поняли. А если взять минус два раза? Но что значит минус взять минус раз? Если взять положительное число минус раз, то в итоге получиться отрицательное, у него меняется знак. В случае если мы отрицательное число берем минус раз, то у него меняется знак и оно становиться положительное.

Для чего мы рассуждали об умножении минус на минус? А для того, что бы рассмотреть еще одну абстракцию, на этот раз она имеет непосредственное отношение к комплексным числам. Это мнимая единица. Мнимая единица равна квадратному корню из минус 1:

Напомню, что такое квадратный корень. Это операция, обратная возведению в квадрат. А возведение в квадрат - это умножение числа само на себя. Таким образом, квадратный корень из 4 равен 2, потому что 2*2=4. Квадратный корень из 9 - это 3, так как 3*3=9. Квадратный корень из единицы так же получается единица, из нуля нуль. Но как нам извлечь квадратный корень из минус единицы? Какое число надо умножить на себя, что бы получить -1? А нет такого числа! Если мы умножим -1 саму на себя, то в итоге получим 1. Если 1 умножим на 1, то получим 1. А минус -1 мы таким образом никак не получим. Но, тем не менее, мы можем столкнуться с ситуацией, когда под корнем окажется отрицательное число. Что же делать? Можно, конечно сказать, что решения нет. Это как при делении на нуль. Все мы до какого то времени считали, что на нуль делить нельзя. Но потом узнали о такой абстракции, как бесконечность, и оказалось, что делить на нуль все таки можно. Более того, такие абстракции, как деление на нуль, или неопределенность, получаемая при делении нуля на нуль или бесконечности на бесконечность, а так же другие подобные операции, широко применяются в вышей математике (математическом анализе), а высшая математика - это основа многих точных наук, которые двигают вперед технический прогресс. Так может и в мнимой единице есть какой то тайный смысл? Есть. И вы его поймете, читая дальнейшие мои уроки по комплексным числам. А пока я расскажу о некоторых сферах, где комплексные числа (числа, в составе которых есть мнимая единица) применяются.

И так, вот перечень областей, где применяются комплексные числа:

• Электротехника. Расчет цепей переменного тока. Использование комплексных чисел в данном случае очень упрощает расчет, без них пришлось бы применять дифференциальные и интегральные уравнения.

• Квантовая механика. Вкратце - в квантовой механике есть такое понятие как волновая функция, которая сама по себе комплекснозначна и квадрат которой (уже действительное число) равен плотности вероятности нахождения частицы в данной точке. См. так же цикл уроков Физика для чайников.

• Цифровая обработка сигналов. Теория цифровой обработки сигналов включает такое понятие, как z-преобразование, которое очень облегчает различные вычисления, связные с расчетом характеристик различных сигналов, таких как частотная и амплитудная характеристика и прочее.

• Описание процессов плоского течения жидкостей.

• Обтекание профилей жидкостью.

• Волновые движения жидкости.
   

И это далеко не исчерпывающий перечень, где применяют комплексные числа. На этом первое знакомство с комплексными числами закончено, до новых встреч.