Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 2. Основные аксиомы и теоремы

Аксиома 1. Вероятность двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Формула верна для любого количества событий, причем, вероятность суммы событий, составляющих полную группу событий, равна единице. В частном случае, для противоположных событий справедлива формула:

Отсюда следует вероятность противоположного события:

Во многих случаях удобнее обозначать вероятности противоположных событий буквами p и q, где

Тогда:

Пример 1. Каткова вероятность, что на игральной кости выпадет более двух очков?

Решение. При бросании игральной кости возможны шесть событий от A₁ до A₆. Все эти события несовместны. Событию "выпадет  больше двух очков" соответствуют любое из событий  A_3, A_4, A_5, A₆. Вероятность каждого из событий 1/6, поэтому:

Теперь разберем такое понятие, как произведение совместных событий. Под произведением событий A и B (AB) мы понимаем такую ситуацию, когда произошло событие A, а затем событие B. Вероятность произведения событий AB равна произведению вероятности события A на условную вероятность события B. Под условной вероятностью события B подразумевается вероятность наступления события B при условии, что событие A наступило.

Если наступление события A изменяет условие наступления события A, то такие события называют зависимыми. В противном случае события независимы и условная вероятность равна безусловной. Условную вероятность события B обозначают P(B|A). Тогда:

При этом справедливо равенство:

Для независимых событий, когда условная и безусловная вероятность равны, вероятность совместного события AB находиться по формуле:

Пример 2. Из урны, в которой 10 желтых и 5 красных шаров извлекают по очереди два шара. Какова вероятность извлечь последовательно сначала красный, а потом желтый шар, если:

1) Первый извлеченный шар возвращают обратно.

2) Первый извлеченный шар обратно не возвращают.

Решение.  Событие "извлекли красный шар" обозначили A, "извлекли желтый шар" обозначим  B. В первом случае эти события независимы, так как мы шар возвращаем обратно и поэтому вероятность извлечь шар заданного цвета не меняется. Тогда:

Во втором случае события будут уже зависимые, то есть, после того, как мы извлеки красный шар, вероятность извлечения желтого шара поменяется, то есть:

Если у нас имеет место случай, когда надо вычислить вероятность двух совместных событий, то применим следующую формулу:

Для понимания, что значит вероятность двух совместных событий, рассмотрим пример.

Пример 3.  Двое снайперов стреляют по мишени по одному разу. Первый из них стреляет лучше и вероятность, что он попадет в цель, равна 0.9, а второй - мазила, вероятность что он попадет в цель 0.5. Цель считается пораженной, если хот кто-нибудь из них попадет ну, или попадут оба.

Решение. По формуле 2.8 вычислим вероятность данного события:

Эту задачу также можно решить и другим путем. Найдем вероятность того, что оба промахнуться:

Тогда вероятность что хоть один из них не промахнется (цель будет поражена) равняется:

Пример 4. Игральная кость бросается 4 раза. Какова вероятность, что хотя бы один раз выпадет число 3.

Решение. Вероятность того, что выпадет число 3 равна 1/6, что не выпадет 5/6. Тогда искомая вероятность:

Теперь разберем такое понятие, как формула полной вероятности. Допустим, некоторое событие A может произойти только в результате наступления одного из случайных событий H₁,H₂,...,H_n, которые составляют полную группу событий.  Будем называть эти события гипотезами с известными вероятностями их осуществления P(H₁),P(H₂),...,P(H_n). Тогда безусловную вероятность события A можно найти по формуле полной вероятности, определяемой как сумма произведений вероятностей гипотез на условные вероятностей события A:

Пример 5. В урне лежит 4 синий и 5 красных шаров. Из нее достали один шар, цвет которого неизвестен. Затем достали второй. Какова вероятность, что этот второй шар оказался синий?

Решение. Рассмотрим две гипотезы: H₁ - первый шар синий, H₂ - первый ша красный. Вероятности этих гипотез P(H₁)=4/9, P(H₂)=5/9. Условные вероятности событий: P(A|H₁)=3/8, P(A|H₂)=4/8. Тогда:

Представим себе, что событие в примере 5 произошло. Требуется найти вероятность того, что реализовалась гипотеза H_i. Из равенства 2.6 выводим так называемую формулу Байеса.

Для нашего случая

Пример 6. Предположим, в предыдущем примере (5), оказалось, что второй шар синий. Найти после опытную вероятность того, что первый шар тоже был синий.

Решение. По формуле Байеса находим:

Как видим, вероятность того, что это был синий шар, уменьшилась.