Теория вероятностей и математическая статистика. Урок 1. Основные понятия.

Теория вероятности изучает случайные события. Под случайными событиями мы понимаем такие события, исход которых предсказать невозможно.  На теорию вероятности опирается такая наука, как математическая статистика.  Она изучает  математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Разумеется, теория вероятности не занимается предсказаниями случайных событий. Она занимается именно самими случайными событиями. Казалось бы, что в них можно изучать, кроме возможности предсказать? Но дело в том, что есть в мире события, исход которых не предсказуем вообще. Возьмем например, бросание монеты. Может выпасть или "орел", или "решка". Для того, чтобы предсказать исход бросания, необходимо точно замерить силу толчка в момент бросания монету, точно знать точку ее приложения и рассчитать траекторию. Скорее всего, вы это сделать не сможете, поэтому такое событие для вас является случайным. Но, допустим, вам предлагают игу: если выпадает "решка", то вам платят два доллара, а если выпадает "орел" - то вы отдаете один доллар. Согласитесь? Вот этот вопрос как раз и относится к области компетенции теории вероятностей.

А теперь давайте решим предложенную задачу. Итак, если монета правильная, без сточек и прочих мошеннических обработок, то исход "орел" или "решка" - равновероятен: в половине случаев выпадет "орел", в половине "решка". Разумеется, в реальности так не будет, будут какие то уклонения. Например вы бросили 10 раз из них 6 раз выпал "орел", 4 раза "решка". Если бросите 100 раз - отклонения будут уже меньше, допустим, 52/48. Но в среднем будет 50%/50%.  Допустим, вы бросили монету миллион раз. В половине случаев выпала "решка" (500000 раз), а вторая половина случаев - "орел". Значит, играя миллион раз, вы получите 500000*2=1000000$, а отдадите 500000*1=500000$. Получите больше, чем отдадите, что явно выгодна. Значит, стоит согласится. На самом же деле при решение подобных задач не считают какую выгоду или убыток получим через миллион или другое больше число исходов. Считают среднюю величину, и на сновании средней величины принимают решение. Но, все по порядку.

Сначала рассмотрим ряд понятий и определений. Событие называют равновозможными, если в результате испытаний ни одно из них не более возможно, чем другое. Пример - подбрасывание монеты или игральной кости (в последнем случае возможности выпасть любой грани кубика равнозначны). События называются совместными, если появление  одного из них не исключает появление другого.  В противном случае они несовместны. Пример несовместных событий - бросание монеты. Не бывает так, что выпали "орел" и "решка" одновременно. Пример совместного события - дождливая и ветреная погода. Может быть так, что идет дождь. И может быть так, что очень сильный ветер. Одно не исключает другого, и часто эти события совпадают, происходят одновременно.

Если у нас имеется несколько попарно несовместных событий и в результате испытаний произойдет одно из них, то эти события образуют полную группу.  Если в такой полной группе только два события, то они называются противоположными. Противоположные события можно получить и из полной группы событий. Например, у нас есть игральная кость. Полную группу событий образуют события выпадения каждой грани от 1 до 6. Но из них можно выделить два противоположных события, например, выпадение грани номер больше 5 и меньше либо равно 5. Обычно одно из таких событий обозначают определенной буквой, а противоположное  буквой с черточкой наверху, например так и так .

Переходим к следующему определению. Суммой несовместных событий A и B будем называть событие A+B, которое возникает тогда, когда наступает  одно из событий A или B. Произведением событий A и B  будем называть событие A • B, которое наступает, когда происходят оба события и A и B. Разумеется, в данном случае речь уже идет о совместных событиях. Также есть понятие суммы совместных событий. В этом случае появление события суммы этих  событий предполагает появление хотя бы одного из них.

Рассмотрим пример.  Снайпер стреляет по мишени. У него есть два выстрела. Попадание в цель обозначим как и , промахи как и . В результате такой  стрельбы возможны следующие четыре несовместные события:

• - оба выстрела попали в цель.
• - первый выстрел попал в цель, второй - нет.
• - первый выстрел - промах, второй - попадание.
• - оба выстрела - промахи.

Тогда событие B - поражение цели, для которого достаточно хотя бы одного попадания, можно вычислить как сумму трех несовместных событий:

Рассмотрим классическое определение вероятности. Итак, вероятность наступления события A - это отношение числа элементарных исходов m, в результате которых событие считается наступившим, к общему числу равновозможных исходов n  в данном испытании. Вероятность обозначают P(A), либо p:

из определения следует, что 0≤P(A)≤1. При этом, если P(A)=0, то это означает, что данное событие невозможно, а если P(A)=1, то данное событие достоверное, то есть, оно случиться в любом случае.

Пример 1. В лототроне имеется 3 черных и 7 белых шаров. Из него случайным образом выпадет шар. Какова вероятность, что этот шар окажется черный.

Решение. Всего в лототроне 3+7=10 шаров. Таким образом, n=10. Черных шаров 3, поэтому m=3. Таким образом:

Во многих случаях для подсчета количества исходов применяют формулы комбинаторики. Определимся с понятиями комбинаторики.

Перестановки. Под перестановками понимают всевозможные комбинации из заданной группы элементов. Пусть у нас имеется n элементов. Количество перестановок обозначим P_n. Тогда:

Пример 2. Имеются две карточки с буковой "О", одна карточка с буквой "Н" и одна с "К". Какова вероятность составить слово ОКНО, поставив эти карточки наугад в случайном порядке.

Решение.  Всего возможно 4! комбинаций, то есть 1∙2∙3∙4=24. В двух из них получиться слово ОКНО (так как нас две буквы "О" и их можно переставить местами). Таким образом, вероятность получить слово ОКНО равна 1/12≈0.083333.

Размещения. Под размещением из n элементов по m понимают всевозможные комбинации из m элементов, выбранных из n, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Количество размещений вычисляется по формуле:

Пример 3. Дано 33 карточки со всеми буквами русского алфавита. Каковая вероятность, что выбрав наугад 4 карточки, мы составим слово КОНЬ.

Решение.

Таким образом, вероятность данного события равна 1/982080≈0.000001

Сочетание. Под сочетанием из n элементов по m понимают всевозможные комбинации из m элементов, выбранных из n, отличающиеся только составом элементов. Количество размещений вычисляется по формуле:

Пример 4. В урне 3 желтых и 5 красных шаров. Какова вероятность, что извлекая наугад 4 шара, мы извлечем 2 желтых и 2 красных.

Решение. Общее количество исходов при извлечении из урны 4 шаров, в которой 8 шаров, равна сочетанию из 8 по 4. Количество благоприятствующих исходов является произведением числа вариантов извлечения желтых и красных шаров.  Таким образом:

Если число исходов носит несчетный характер, тогда вводят понятие геометрической вероятности. Допустим, у нас есть некоторая область, площадью S. В это плошать случайным образом попадает некая материальная точка. Какова вероятность, что точка попадет в некий участок данной области, площадь которого S₀? Данная вероятность вычисляется из формулы: