Программирование - это просто
Advertisement
Главная arrow Математика и информатика arrow Матричное исчисление для чайников. arrow Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.
29.05.2024 г.
Главное меню
Главная
Интернет магазин
Программные продукты
Биржевые роботы
Искусственный интеллект
Математика и информатика
1С:Предприятие
Уроки C#
Уроки Delphi
Уроки программирования
Web-программирование
Дизайн и графика
Компьютер для блондинок
Исходники
Статьи
Платный раздел
Рассказы про компьютеры
Хитрости и секреты
Системный подход
Размышления
Наука для чайников
Друзья сайта
Excel-это не сложно
Все о финансах
.
Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц. Печать E-mail
Автор megabax   
08.03.2021 г.
New Page 1

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

В самом конце прошлого урока мы затронули тему линейных преобразований. Вспомним его. Пусть у нас есть некоторые числа y1, y2, ... ym и числа x1, x2, ... xm, между которыми существует зависимость:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

(2.1)

Как вы помните, это и ест линейное преобразование. Пусть у нас также есть преобразование чисел z1, z2, ... zm через те же числа x1, x2, ... xm:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц. (2.2)

Тогда сумма чисел y1, y2, ... ym и z1, z2, ... zm будет выглядеть так:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

(2.3)

Из прошлого урока (самый конец) мы помним, что то, что у нас в выражение (2.1) - это матрица. То, что в (2.2) - это тоже матрица. Таким образом, формула (2.3) наглядно показывает, что матрицы можно складывать. При этом получается матрица, которая содержит суммы соответствующих элементов слагаемы матриц. То есть, чтобы сложить матрицы, нам надо в каждой строчке сложить первые элементы, потом вторы и так до конца строки. Разумеется, складывать мы можем только матрицы одинакового размера (и по горизонтали, и по вертикали).

А теперь рассмотри научное определение сложения матриц. Суммой двух прямоугольных матриц Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.и Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.одинаковых размеров Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.называется матрица Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц., элементы которой равны сумме соответствующих элементов данных матриц:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

(2.4)

если

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц. (2.5)

Операция нахождения сумму матриц называется сложением матриц.

Пример 1. Найти сумму матриц:

и Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Решение. Складываем соответствующие элементы матриц, получаем:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Пример 2. Найти сумму матриц:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

и

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Решение. Складываем соответствующие элементы матриц, получаем:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Сложение матриц обладает рядом свойств, которые следуют из определения:

  • Переместительное свойство: A+B=B+A, где A и B - прямоугольные матрицы одинакового размера.

  • Сочетательное свойство: (A+B)+C=A+(B+C), где A, B и C - матрица одинакового размера.

Мы рассмотрели операцию суммирования матриц. Теперь рассмотрим операцию умножения матрицы на коэффициент. Выполним умножения выражения (2.1) на некий коэффициент α из числового поля K:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

(2.6)

исходя из данного выражения, имеем определения умножения матрицы на коэффициент: произведением матрицы на число α из числового поля K называется матрица , элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы A путем умножения на число α

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

(2.7)

Пример 3. Умножим на 3 матрицу:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Решение:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Пример 4. Умножим на x+1 матрицу:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Решение:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Произведение матрицы на число обладает следующими свойствами:

  • α(A+B)=αA+αB

  • (α+β)A=αA+βA

  • (αβ)A=α(β)A

где A и B - прямоугольные матрицы, α и β - числа из поля K.

Теперь рассмотрим такое понятие, как разность матриц. Формально эту операцию можно представить так:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

(2.8)

По свое сути, разность матриц это поэлементное вычитание. Разумеется, как и в случае со сложением, размеры матриц должны совпадать. 

Пример 5. Вычислим разность матриц:

Решение:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Теперь рассмотрим умножение матриц. Путь у нас есть зависимость величин z1, z2, ..., zm от y1, y2, ..., ym через преобразование:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

(2.9)

и зависимость величин y1, y2, ..., yn от x1, x2, ..., xn через преобразование:

(2.10)

Тогда мы можем применить составное преобразование, если подставим в формулу для z1, z2, ..., zm значения из формулы (2.10):

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

(2.11)

В соответствии с этим имеет место следующее определение: произведение двух прямоугольных матриц

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

и

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

называется матрица

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

У которой каждый элемент cij, стоящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, равен произведению i-ой строки первой матрицы A на j-ый столбец второй матрицы B. Под произведением двух рядов чисел друг на друга  подразумевается сумма попарных произведений чисел в этих рядах. Таким образом:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

(2.12)

Операция произведения двух матриц называется умножением матриц.

Стоит заметить, что произведение матриц возможно только в том случае, когда количество столбцов в первом сомножителе равно количество строк во втором.

Пример 6. Найти произведение матриц:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Решение.

Пример 7. Найти произведение матриц:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Решение:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Стоит обратить внимание на тот факт, что для произведения матриц не действует закон перестановки множителей, даже если обе матрицы квадратные. Попробуем, например, найти произведение вот таких вот матриц (перестановка множителей из примера 7):

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Результат будет совсем другой:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Но для некоторых частных случаев при перестановке матричных множителей произведение не меняется. Матрицы, входящие в такое произведение, называют перестановочными, или коммутирующими между собой. Пример:

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

и

Матричное исчисление для чайников. Урок 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц.

Последнее обновление ( 08.03.2021 г. )
 
« След.   Пред. »
 
© 2024 Программирование - это просто
Joomla! - свободное программное обеспечение, распространяемое по лицензии GNU/GPL.
Русская локализация © 2005-2008 Joom.Ru - Русский Дом Joomla!
Design by Mamboteam.com | Powered by Mambobanner.de
Я принимаю Яндекс.Деньги