Матричное исчисление для чайников. Урок 1. Понятие матрицы. |
Автор megabax | |
08.03.2021 г. | |
Матричное исчисление для чайников. Урок 1. Понятие матрицы.Матричное исчисление (или матричная алгебра) - это раздел математики, который изучает матрицы. Матрицы присутствуют во многих расчетных задачах, например, решение систем линейных уравнений (когда их много), в задачах оптимизации и так далее. Поэтому очень важно знать и понимать этот раздел математики. Итак, сначала мы познакомимся с самим понятием матрицы. Матрица - это просто таблица чисел. Сама обычная таблица. У нее есть строки и столбцы. Но есть еще и научное определение матрицы, его тоже надо знать. а звучит оно вот так: "Пусть дано некоторое числовое поле K. Тогда прямоугольную таблицу чисел из поля K: будем называть матрицей". Тут использовано еще одно, может быть, незнакомое вам понятие - числовое поле. Давайте и с ним определимся. Итак, числовое поле - это любая совокупность чисел, в пределах которой выполнимы и однозначны четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля. Таким образом, к числовому полю принадлежать все нормальные числа, колесные, кстати, тоже (см. также циклы уроков Комплексные числа для чайников и Комплексные числа для чайников (платный раздел)). А вот если кто-нибудь изобретет какие-нибудь "экзотические" числа, для которых не будет хотя бы одного однозначно выполнимого из перечисленных четырех математических операций, то уже нельзя будет сказать, что эти числа принадлежат к числовому полю. Если говорить простыми словами, то матрицей считается только таблица чисел, а также любых других математических объектов, которые можно нормально складывать, вычитать, умножать и делить. А вот если в таблицу поместить нечто, что нельзя, к примеру, складывать, то это будет уже не матрица. Дело в том, что над матрицами тоже можно делать некоторые математические действия, которые сводятся к действиям над входящими в матрицу числами. А если в матрице будут не числа, а невесть что, например, строки, или какие-нибудь экзотические объекты, то над такой таблицей мы уже не сможем произвести те математические операции, которые можем делать над матрицей. Итак, давайте еще раз обсудим, что может быть внутри матрицы, а что нет. Могут быть числа, комплексные (так как их можно складывать, вычитать и делить). Могут быть функции и математические выражение, если результатом их вычисления будет число (или комплексное число). Действительно, если у нас есть некая функция и есть некая функция , результат вычисления которых "нормальное" число, то кто нам машет совершить операцию , или, например, ? Числа n и m - это размеры матрицы, если они одинаковые, то такая матрица называется квадратной. В этом случае число n, равное m, называется порядком матрицы. В общем случае, когда m и n не равны, матрица называется прямоугольной. Числа, входящие в матрицу, называются элементами матрицы. Рассмотрим, как матрица обозначается. В самом начале урока я показал общее обозначение матрицы. Существует еще упрощенное: , где i=1,2,3...m, j=1,2,3,... n. При двухиндексном обозначении элементов матрицы всегда первый индекс показывает номер строки, а второй - номер столбца. Матрицу также обозначают одной буквой, например, A. Если A - это квадратная матрица порядка n, то можно записать У квадратной матрицы может быть определитель. Определитель матрицы обозначают или . До определителей мы еще доберемся, сейчас я лишь вкратце скажу, что это такое. Итак, определитель (или детерминант) - это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов. Под транспонированием понимается "переворачивание" матрицы - строки становятся столбцами, а столбцы строками. Существуют также особые виды матрицы, которые могут иметь отдельные обозначает. В частности, прямоугольную матрицу вида: или, говоря иными словами, матрицу, состоящую из одного столбца, принято обозначать вот так . Такая матрица называется столбцевой. Матрица бывает также и строчной: Обозначается она вот так: Если все элементы квадратной матрицы, кроме главной диагонали, равны нулю: То такая матрица называется диагональной. Обозначается она вот так: Символ - это так называемый символ Кронекера: Другое обозначение диагональной матрицы: Также есть обозначения для отдельных строк и столбцов матрицы. Итак, пусть у нас есть матрица . Тогда i-ую строку обозначим как : А j-ый столбец будем обозначать как : Рассмотрим еще такое понятие, как линейное преобразование. Пусть у нас есть система линейных уравнений вида: Или, если записать его сокращенно: Преобразование всех величин x в величины y при помощи указанных формул называются линейным преобразованием. Коэффициенты этого линейного преобразования образуют матрицу |
|
Последнее обновление ( 08.03.2021 г. ) |
« След. |
---|