Теория алгоритмов для чайников. Урок 3. Машина Тьюринга

Для формализации понятия алгоритма была разработана модель, которая названа машиной Тьюринга (в честь разработчика Алана Тьюринга). Суть этой модели состоит в том, что существует некий абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Этот абстрактный исполнитель является расширением конечного автомата. Согласно тезису Чёрча — Тьюринга, машина Тьюринга способна имитировать (при наличии соответствующей программы) любую машину, действие которой заключается в переходе от одного дискретного состояния к другому.

Под конечным автоматом тут понимают некий абстрактный автомат, имеющий конечное количество внутренних состояний. Существует множество способов задания конечных автоматов. Например, конечный автомат может быть графом. Или множеством M=(V,Q,q₀,F,δ), где

• V — входной алфавит (конечное множество входных символов), из которого формируются входные слова, воспринимаемые конечным автоматом;
• Q  — множество внутренних состояний;
• q₀ — начальное состояние (q Î Q);

• F — множество заключительных, или конечных состояний F Ì Q;

• δ — функция переходов, определенная как отображение   δ : Q x (V È  {λ}) → Q, такое, что δ(q,a) = {r : q → _a r} , то есть значение функции переходов на упорядоченной паре (состояние, входной символ или пустая цепочка) есть множество всех состояний, в которые из данного состояния возможен переход по данному входному символу или пустой цепочке (λ).

Принято считать, что конечный автомат начинает работу в состоянии q₀, последовательно считывая по одному символу входного слова (цепочки входных символов). Считанный символ переводит автомат в новое состояние, в соответствии с функцией переходов. Читая входную цепочку символов x и делая переходы из состояния в состояние, автомат, после прочтения последнего символа входного слова окажется в некотором состоянии q'. Если это состояние является заключительным, то говорят, что автомат допустил слово x.

Итак, мы с вами определились, что такое конечный автомат. Машина Тьюринга - это как раз конечный автомат, точнее, особый вид конечного автомата. Его особенность заключается в устройстве. В состав машины Тьюринга входит неограниченная в обе стороны лента (возможны машины Тьюринга, которые имеют несколько бесконечных лент), разделённая на ячейки, и управляющее устройство (также называется головкой записи-чтения (ГЗЧ)), способное находиться в одном из множества состояний. Число возможных состояний управляющего устройства конечно и точно задано. Разумеется, речь идет не о каком то реальной устройстве, а о модели, виртуальном устройстве.

Управляющее устройство может перемещаться по ленте в обе стороны (влево и вправо), также оно может читать и писать на лету различные символы определенного алфавита с конечным числом символов. Выделяется особый пустой символ, заполняющий все клетки ленты, кроме тех из них (конечного числа), на которых записаны входные данные. Оно работает согласно правилам перехода, которые представляют алгоритм, реализуемый данной машиной Тьюринга. Каждое правило перехода предписывает машине, в зависимости от текущего состояния и наблюдаемого в текущей клетке символа, записать в эту клетку новый символ, перейти в новое состояние и переместиться на одну клетку влево или вправо. Некоторые состояния машины Тьюринга могут быть помечены как терминальные, и переход в любое из них означает конец работы, то есть, остановку алгоритма.

Есть понятие детерминированной и недетерминированной машины Тьюринга. В первом случае каждой комбинации считанного с ленты символа и состоянии машины соответствует однозначное действие: например, переход в другое состояние, запись конкретного символа на ленту либо смещение ленты в ту или в другую сторону.  Например, если считанный с ленты символ A в состоянии 7 означает запись на ленту символа B с переходом в состояние 8, то это будет однозначное действие. Если всем комбинациям состояний и считанных символов соответствуют подобные однозначные правила, то такая машина Тьюринга и есть детерминированная. 

Но если какой то комбинации символ/состояние соответствует два и более правила, то это уже будет недетерминированная машина Тьюринга. Например, при считывании символа X в состоянии 5 происходит либо переход с состояние 6, либо 7. Это уже неоднозначное правило.

Как НМТ «узнаёт», какой из возможных путей приведёт в допускающее состояние? Есть два пути решения этой проблемы:

• Можно считать, что НМТ — «чрезвычайно удачлива»; то есть всегда выбирает переход, который в конечном счёте приводит к допускающему состоянию, если такой переход вообще есть.
• Можно представить, что в случае неоднозначности перехода (текущая комбинация состояния и символа на ленте допускает несколько переходов) НМТ делится на копии, каждая из которых следует за одним из возможных переходов.

Таким образом, в случае детерминированной машина Тьюринга она имеет некий путь вычисления, а недетерминированная может иметь дерево вычисления, с разветвлениями.

Рассмотрим пример. Пусть у нас есть унарная система счисления (в которой только одна цифра, например, при счете на палочках, как в детстве, когда вас учили считать). Имеется также машина Тьюринга, которая умножает числа в этой унарной системе счисления. Имеется правило: «q_ia_j→q_i1a_j1R/L/N», которое следует понимать так: q_i — состояние при котором выполняется это правило, a_j — данные в ячейке, в которой находится головка, q_i1 — состояние в которое нужно перейти, a_j1 — что нужно записать в ячейку, R/L/N — команда на перемещение.

Набор правил, по которым работает машина, приведены в таблице ниже:

Описание состояний приведены в таблице ниже:

Теперь пояснения к данной таблице. Допустим, нам надо выполнить умножение числа 3 на число 2. В унарной системе это будет 111 и 11 соответственно.

Итак, начло. В машину ввели данные *111x11=*.

Шаг 1. У нас состояние q₀ и машина считывает знак "*". Смотрим по таблице, что она должна делать в этом случае. Это правило q₀*→q₀*R (см. первый столбец, где q₀ пятую строку где *).  Это означает, что мы переходим в состояние q₀ (то есть, не меняем его). Символ станет "*", то есть, также не изменится. Мы смещаемся по введенному нами тексту *111x11=* вправо на одну позицию (R). В данном случае, это смещение на первый символ 1.

Шаг 2. Теперь у нас состояние q₀ и машина считывает знак "1". Это означает команду q₀1→q₀1R (см. первый столбец таблицы и первую строку). То есть, снова происходит переход на одну позицию вправо.

Шаги 3 и 4. Тоже самое, что и на шаге 2. И тут мы доходим до символа "x".

Шаг 5. Мы читаем символ "x". В состоянии q₀ чтение данного символа означает правило q₀×→q₁×R. То есть, мы сдвигаемся вправо и переходим в состояние q₁.

Шаг 6. Теперь мы уже в состоянии q₁ и читаем символ "1". Это означает правило q₁1→q₂aR. То есть, мы единичку заменяем на a и сдвигаемся вправо. Также мы переходим в состояние q₂. Теперь у нас на ленте *111xa1=*

Шаг 7. Мы находимся в состоянии q₂, на ленте у нас *111xa1=* и мы читаем символ "1". Это означает правило q₂1→q₂1L. То есть, мы оставляем в текущей ячейке символ "1", остаемся в состоянии q₂ и сдвигаемся влево. На ленте у нас по прежнему *111xa1=*, но мы позиционировались на символ "a", который прочтем на следующем шаге.

Шаг 8. Находясь в состоянии q₂, мы читаем символ "a". Такой операции соответствует правило q₂a→q₂aL. То есть, оставаясь в состоянии q₂, мы оставляем в ячейке символ "a" и сдвигаемся еще левее, туда, где у нас символ "x".

Шаг 9. Находясь в состоянии q₂, мы читаем символ "x". Это соответствует правилу q₂×→q₃×L. Говоря другими словами, мы сдвигаемся на 1 символ влево, переходим в состояние q₃ и оставляем в ячейке символ "x".

Шаг 10.  Находясь в состоянии q₃, мы читаем символ "1". Данной ситуации соответствует правило q₃1 → q₄aR. Выполнение этого правила заменяет на ленте единичку на символ "a", теперь у нас на ленте *11axa1=*, мы перешли в состояние q₄ и сдвигом вправо перешли к ячейке с символом "x".

Шаг 11. Находясь в состоянии q₄, мы читаем символ "x". Данной ситуации соответствие правило: q₄×→q₄×R. То есть, мы сдвигаемся вправо к следующему символу "a", символ "x" остается неизменным.

Шаг 12.   Находясь в состоянии q₄, мы читаем символ "a". Данной ситуации соответствие правило: q₄a→q₄aR. То есть, мы сдвигаемся вправо к следующему символу "1", символ "a" остается неизменным.

Шаг 13.  Находясь в состоянии q₄, мы читаем символ "1". Данной ситуации соответствие правило: q₄1→q₄1R. То есть, мы сдвигаемся вправо к следующему символу "=", символ "1" остается неизменным.

Шаг 14.  Находясь в состоянии q₄, мы читаем символ "=". Данной ситуации соответствие правило: q₄=→q₄=R. То есть, мы сдвигаемся вправо к следующему символу "*", символ "=" остается неизменным.

Итак, думаю, как работает машина Тьюринга, из этого примера более менее понятно. Поэтому далее будут описывать не так подробно.

Итак, в состоянии q₄ машина доходит до символа "*" в конце строки и выполняет правило q₄*→q₅1R, которое заменяет "1" и сдвигает указатель вправо. По сути, указатель позиционируются на пустое место. Но и для этого  нас есть правило q₅ →q₂*L, то есть, мы переходим в состояние q₂, ставим к конец слова звездочку и идем обратно (влево). В этом состоянии у нас машина все идет влево, не меняя символы, пока не наткнется на символ "x". тогда она переключается в режим q₃, в котором идет до звездочки, переключается вq₆ , согласно правилу q₃*→q₆*R и начинает обратный ход. У нас на ленте все еще *aaaxa1=111*. В этом состоянии, чтение символа приведет к выполнению правила q₆a→q₆1R, то есть, все звездочки будут заменятся на единички. И так до тех пор, пока не дойдет до "x". тогда сработает правило  q₆×→q₇×R. То есть, мы переключимся в состояние q₇, но символ "x" пока не тронем. У нас будет на ленте *111xa1=111*. Далее, в этом состоянии производиться поиск символа "1", который, согласно правилу q₇1→q₂aR, переключает машину в состояние q₂, а саму единицу заменяет на символ "a". После этого у нас будет *111xa1=111*.

Если мы таким же образом отследим манипуляции Машины Тьюринга, то получим примерно следующее:

Машина Тьюринга представляет собой простейшую вычислительную машину с линейной памятью, которая согласно формальным правилам преобразует входные данные с помощью последовательности элементарных действий. Элементарность действий состоит в том, что действие меняет лишь небольшой кусочек данных в памяти, и число возможных действий конечно. Несмотря на простоту машины Тьюринга, на ней можно вычислить всё, что можно вычислить на любой другой машине, осуществляющей вычисления с помощью последовательности элементарных действий. Это свойство называется полнотой.

Один из естественных способов доказательства того, что алгоритмы вычисления, которые можно реализовать на одной машине, можно реализовать и на другой, — это имитация первой машины на второй. Она заключается в следующем. На вход второй машине подаётся описание программы (правил работы) первой машины D и входные данные X, которые должны были поступить на вход первой машины. Нужно описать такую программу (правила работы второй машины), чтобы в результате вычислений на выходе оказалось то же самое, что вернула бы первая машина, если бы получила на вход данные X.

На машине Тьюринга возможно имитировать (с помощью задания правил перехода) все другие исполнители, каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен. На машине Тьюринга можно имитировать любую программу для обычных компьютеров, преобразующую входные данные в выходные по какому-либо алгоритму. В свою очередь, на различных абстрактных исполнителях можно имитировать Машину Тьюринга. Исполнители, для которых это возможно, называются полными по Тьюрингу (Turing complete).

Есть программы для обычных компьютеров, имитирующие работу машины Тьюринга. Но следует отметить, что данная имитация неполная, так как в машине Тьюринга присутствует абстрактная бесконечная лента. Бесконечную ленту с данными невозможно в полной мере имитировать на компьютере с конечной памятью (суммарная память компьютера — оперативная память, жёсткие диски, различные внешние носители данных, регистры и кэш процессора и др. — может быть очень большой, но, тем не менее, всегда конечна).

В заключении расскажу о таком понятии, как тьюринговская трясина. Этим сленговым термином обозначают  название для языков программирования, которые Тьюринг-полны, но обладают крайне примитивными синтаксисом и семантикой. Они неудобны для практического программирования (из-за трудности написания программ и низкой производительности), зато хорошо подходят для некоторых других задач (доказательство невычислимости некоторых функций, иллюстрация базовых принципов программирования и т. д.). Поэтому они интересны для информатики. Многие эзотерические языки программирования (языки, разработаны для исследования границ применения некоторой или или просто как шутка) также являются «трясинами Тьюринга». Пример такого эзотерического языка - язык false, который выглядит как шифровка, например: "[$1=$[\%1\]?~[$1-f;!*]?]f:" (задание функции вычисления факториала).